Trong lịch sử, quá trình đưa ra một định nghĩa toán học chính xác về số tự nhiên là một quá trình nhiều khó khăn. Các định đề Peano đưa ra những điều kiện tiên quyết cho một định nghĩa thành công về số tự nhiên. Một số phép xây dựng cho thấy rằng, với lý thuyết tập hợp đã biết, các mô hình của các định đề Peano chắc chắn tồn tại.

Các tiên đề Peano

• Có một số tự nhiên 0
• Với mọi số tự nhiên a, tồn tại một số tự nhiên liền sau, ký hiệu là S(a).
• Không có số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.
• Hai số tự nhiên khác nhau phải có hai số liền sau tương ứng khác nhau: nếu a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).
• Nếu có một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và chúng ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên thỏa tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa tính chất đó, khi đó, tính chất đó được thỏa mãn với mọi số tự nhiên. (Định đề này đảm bảo rằng phép quy nạp toán học là đúng.)

Cần lưu ý rằng "0" ở định nghĩa trên không nhất thiết phải là số không mà chúng ta vẫn thường nói đến. "0" ở đây chẳng qua là một đối tượng nào đó mà khi kết hợp với một hàm liền sau nào đó thì sẽ thỏa mãn các tiên đề Peano. Có nhiều hệ thống thỏa mãn các tiên đề này, trong đó có các số tự nhiên (bắt đầu bằng số không hay bằng số một).

Xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp

Phép xây dựng chuẩn

Trong lý thuyết tập hợp có một trường hợp đặc biệt của phép xây dựng von Neumann định nghĩa tập hợp số tự nhiên như sau:

Chúng ta định nghĩa 0 = { }, tập hợp rỗngvà định nghĩa S(a) = a ∪ {a} với mọi a.Sau đó tập hợp số tự nhiên được định nghĩa là giao của tất cả các tập hợp chứa 0 mà là các tập đóng đối với hàm liền sau.Nếu chúng ta thừa nhận tiên đề về tính vô hạn thì sẽ chứng minh được định nghĩa này thỏa mãn các tiên đề Peano.Mỗi số tự nhiên khi đó bằng tập hợp của các số tự nhiên nhỏ hơn nó, sao cho:

• 0 = { },
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
• n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}}, vân vân

Khi ta thấy một số tự nhiên được dùng như là một tập hợp, thì thông thường, ý nghĩa của nó như được trình bày ở trên. Theo định nghĩa đó, có đúng n phần tử (theo nghĩa thông thường) trong tập n và n ≤ m (cũng theo nghĩa bình thường) khi và chỉ khi n là một tập con của m.

Cũng từ định nghĩa này, những cách hiểu khác nhau về các ký hiệu như ℝn (là một n-tuple hay là một ánh xạ từ n vào ℝ)) trở nên tương đương nhau.

Các phép xây dựng khác

Mặc dù phép xây dựng chuẩn thông dụng nhưng nó không phải là phép xây dựng duy nhất. Ví dụ về phép dựng của Zermalo:

có thể định nghĩa 0 = { }và S(a) = a,tạo ra

• 0 = { }
• 1 = {0} = {{ }}
• 2 = {1} = {{{ }}},...

Hay chúng ta có thể định nghĩa 0 = {{ }}

và {{{1}}}}tạo ra

• 0 = {{ }}
• 1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
• 2 = {{ }, 0, 1},...

Có thể vẫn còn tranh cãi, nhưng nhìn chung người ta thường gán định nghĩa có tính lý thuyết tập hợp xưa nhất về số tự nhiên cho Frege và Russell. Trong định nghĩa của hai người này thì mỗi số tự nhiên n cụ thể được định nghĩa là tập hợp của tất cả các tập có n phần tử.

Frege và Rusell bắt đầu bằng cách định nghĩa 0 là { { } } {\displaystyle \{\{\}\}} (rõ ràng đây là tập của tất cả các tập có 0 phần tử) và định nghĩa σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} (với A là một tập bất kỳ) là { x ∪ { y } ∣ x ∈ A ∧ y ∉ x } {\displaystyle \{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}} . Như vậy 0 sẽ là tập của tất cả các tập có 0 phần tử, 1 = σ ( 0 ) {\displaystyle 1=\sigma (0)} sẽ là tập của tất cả các tập có một phần tử, 2 = σ ( 1 ) {\displaystyle 2=\sigma (1)} sẽ là tập của tất cả các tập có 2 phần tử, và cứ thế. Sau đó, tập hợp của tất cả các số tự nhiên được định nghĩa như là phần giao của tất cả các tập có chứa 0 và là tập đóng với phép σ {\displaystyle \sigma } (tức là nếu tập này chứa phần tử n) thì nó cũng phải chứa σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} ).

Định nghĩa này sẽ không dùng được trong những hệ thống thông thường của lý thuyết tập hợp tiên đề vì những tập được tạo ra như vậy quá lớn (nó sẽ không dùng được trong bất kỳ lý thuyết tập hợp nào với tiên đề tách - separation axiom); nhưng định nghĩa này sẽ làm việc được trong Cơ sở Mới (New Foundations) (và trong các hệ thống tương thích với Cơ sở Mới) và trong một vài hệ thống của lý thuyết kiểu.

Trong phần còn lại của bài này, chúng ta sử dụng phép xây dựng chuẩn đã mô tả ở trên.